De manière générale, on définit un écoulement parfait comme un écoulement où tous les phénomènes diffusifs (viscosité, conduction thermique...), sont négligés. Dans un tel écoulement, les molécules de fluide évoluent de manière isentropique, c'est-à-dire que l'entropie reste constante pendant l'étude. Comme l'écoulement parfait est non visqueux, il ne respecte pas la condition d'adhérence à la surface d'un obstacle fixe. Ainsi, la composante normale de la vitesse à la surface est nulle.
Pour établir la relation de Bernoulli, on va considérer un écoulement parfait, stationnaire (les dérivées temporelles sont nulles), incompressible et homogène (le champ de masse volumique est homogène) dans un référentiel d'étude supposé galiléen. On fixe l'axe (Oz) ascendant et on suppose que la seule force s'exercant sur le fluide est la pesanteur. On fixe 2 points A et B sur une même ligne de courant. L'écoulement étant stationnaire la ligne de courant correspond à la trajectoire des particules de fluide allant du point A au point B.
On applique le premier principe appliqué au fluide en écoulement entre A et B : \[h_B - h_A + \frac{1}{2}(v_B^2 - v_A^2) + g(z_B - z_A) = w' + q\] Dans notre cas le fluide ne recoit ni travail utile, ni transfert thermique, on a donc : \[h_B - h_A + \frac{1}{2}(v_B^2 - v_A^2) + g(z_B - z_A) = 0\] Avec les hypothèses utilisées, on a aussi que : \[dh = T ds + V_m dP = \frac{dP}{\mu}\] Ce qui s'intègre entre A et B en \[h_B - h_A = \frac{P_B - P_A}{\mu}\] Finalement, dans le cadre de l'étude le premier principe s'écrit : \[\boxed{\frac{P_B}{\mu} + \frac{1}{2}v_B^2 + g z_B = \frac{P_A}{\mu} + \frac{1}{2}v_A^2 + g z_A}\] Ceci est la relation de Bernoulli pour les écoulements parfaits, stationnaires, incompressibles et homogènes.
L'effet Venturi est un phénomène observé dans un écoulement de fluide à travers un conduit de section variable. Lorsque le fluide passe d'une section plus large à une section plus étroite, sa vitesse augmente, entraînant une diminution de la pression dans la zone de constriction. Ce phénomène est directement lié à la relation de Bernoulli, qui établit que, pour un écoulement parfait, la somme des énergies cinétiques, potentielles et de pression doit rester constante le long d'une ligne de courant.
Considérons un fluide incompressible s'écoulant dans un tube qui présente une section \( S_1 \) (large) et une section \( S_2 \) (étroite). Soit \( v_1 \) et \( v_2 \) les vitesses du fluide respectivement dans ces sections. Avec la continuité de l'écoulement, on a :
\[ S_1 v_1 = S_2 v_2 \] Ainsi, si la section du conduit diminue (\( S_2 < S_1 \)), la vitesse du fluide augmente (\( v_2 > v_1 \)).En appliquant la relation de Bernoulli entre les deux sections, on a :
\[ \frac{P_1}{\mu} + \frac{1}{2}v_1^2 + g z_1 = \frac{P_2}{\mu} + \frac{1}{2}v_2^2 + g z_2 \] Dans le cas où les hauteurs \( z_1 \) et \( z_2 \) sont égales (donc \( z_1 = z_2 \)), on a finalement : \[ P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \mu (v_2^2 - v_1^2) \]Cette équation montre que la différence de pression entre les deux sections (\( P_1 - P_2 \)) est liée à la variation des vitesses. Ainsi, à mesure que la vitesse du fluide augmente dans la section étroite (\( v_2 \)), la pression \( P_2 \) diminue.
L'effet Venturi a de nombreuses applications pratiques, notamment dans les carburateurs des moteurs à combustion interne, les instruments de mesure de débit, et les systèmes de ventilation, où la variation de pression peut être exploitée pour contrôler des processus ou mesurer des débits.