PROPAGATION ET REFLEXION DES ONDES DANS L'IONOSPHERE POUR LES TELECOMMUNICATIONS
Histoire de la 1ère télécommunication transatlantique
I - Introduction
Les premières études des plasmas remontent au début du XXe siècle, lorsque le physicien Irving Langmuir a commencé à s'intérésser aux décharges électriques dans les gaz. En 1928, Langmuir a introduit le terme « plasma » pour décrire un gaz ionisé. Les plasmas omniprésents dans l'univers, sont présents dans les étoiles, les nébuleuses, et sur Terre à de très hautes températures, dans les éclairs et les feux. C'est la découverte et la compréhension de la physique des plasmas dans l'ionosphère qui a notamment permis d'établir la première liaion sans-fil directe transatlantique. En effet, au delà d'une certaine distance, la courbure de la terre empèche de relier 2 points par une ligne droite sans couper sa surface. On peut alors se servir de l'ionosphère pour réfléchir les ondes et ainsi établir une communication entre 2 points à la surface de la terre.
II - Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma peu dense
II.1 - Définition d'un plasma et de l'ionosphère
Un plasma est un gaz ionisé. Il est un des 4 états fondamentaux de la matière Il est composé d'une part d'ions positifs et d'électrons. Le plasma est globalement neutre. L'ionosphère située entre 60km et 800km d'altitude est constitué d'un gaz ionisé (plasma) par les rayons ultraviolets et rayons X provenant du soleil.
II.2 - Relation constitutive des plasmas peu denses
Afin de mener cette présentation, nous utiliserons des hypothèses simplificatrices du problèmes : La plasma est considéré peu dense et les intéractions entres les différents porteurs de charge qui le constituent peuvent être négligées. La masse des ions est au moins trois ordres de grandeurs plus grande que celle des électrons. Lors du passage d'une onde électromagnétique dans le plasma, seuls les électrons sont mis en mouvement. Enfin, on suppose les électrons non-relativistes, ie \(\left\| \overrightarrow{V_{i}} \right\| \ll c\) avec c la célérité de la lumière dans le vide et \(\overrightarrow{V_{i}}\) le vecteur vitesse de l'électron n°i. La densité de courant s'exprime donc : \[\overrightarrow{j}(M,t) = \rho_{m}(M,t)\overrightarrow{v}(M,t) =-n_{e}e\overrightarrow{v}(M,t)\] avec \(\rho_{m}(M,t)\) la densité volumique de charge, \(n_{e}\) la densité particulaire (ici la densité d'électrons supposée uniforme). L'électron n°i est soumis à la force de Lorentz : \[\overrightarrow{F}_{L} = -e(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{V_{i}}\wedge \overrightarrow{B})=\underbrace{-e\overrightarrow{E}}_{\overrightarrow{F_{elec}}}\underbrace{-e\overrightarrow{V_{i}}\wedge \overrightarrow{B}}_{\overrightarrow{F_{mag}}}\] S'il on suppose qu'il n'y a pas d'autres champs que ceux de l'onde électromagnétique, alors \(\frac{\left\| \overrightarrow{E} \right\|}{\left\| \overrightarrow{B} \right\|} \simeq c\) Ainsi, \[\frac{\left\| \overrightarrow{F_{mag}} \right\|}{\left\| \overrightarrow{F_{élec}} \right\|} \le \frac{V_{i}B}{E} \simeq \frac{V_{i}}{c} \ll 1\] Les électrons étant non relativistes, on peut négliger la force magnétique devant la force électrique. On suppose donc que la seule force en jeu est la force électrique. On peut appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'électron n°i, uniquement soumis à la force électrique : \[m_{e}\frac{d \overrightarrow{V_{i}}}{dt} = -e\overrightarrow{E}(M,t)\] On somme la relation sur l'ensemble des électrons contenu dans le volume mésoscopique centré en M : \[m_{e} \sum_{i=1}^{\delta N}\frac{d \overrightarrow{V_{i}}}{dt} = -e \delta N \overrightarrow{E}(M,t)\] \[\Leftrightarrow m_{e} \frac{1}{\delta N} \sum_{i=1}^{\delta N}\frac{d \overrightarrow{V_{i}}}{dt} = -e \overrightarrow{E}(M,t)\] \[\Leftrightarrow m_{e} \frac{\partial \overrightarrow{v}(M,t)}{\partial t} = -e \overrightarrow{E}(M,t)\] On a montré que le champ électrique d'une onde électromagnétique se propageant dans un plasma peu dense engendre l'apparition d'une densité de courant, c'est la relation constitutive des plasmas peu denses : \[\boxed{\frac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}(M,t)=\frac{n_{e}e^{2}}{m_{e}}\overrightarrow{E}(M,t)}\]
II.3 - Structure des ondes électromagnétiques planes pseudo progressives harmoniques
On considère une telle onde dont la direction et le sens de propagation sont selon le vecteur \(\overrightarrow{u_{z}}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{B}\) peuvent se mettre sous la forme : \[\underline{\overrightarrow{E}} = \underline{\overrightarrow{E_{m}}}e^{i(\omega t-\underline{k}z)}\] \[\underline{\overrightarrow{B}} = \underline{\overrightarrow{B_{m}}}e^{i(\omega t-\underline{k}z)}\] D'autre part on peut réécrire les équations de Maxwell dans le cadre d'étude :- Equation de Maxwell-Gauss : \(\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=0\)
- Equation de Maxwell-Thomson : \(\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{B} = 0\)
- Equation de Maxwell-Ampère : \(\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{B}=\mu_{0}(\overrightarrow{j}+\varepsilon_{0}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t})\)
- Equation de Maxwell-Faraday : \(\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\)
On a établit la relation de dispertion de Klein-Gordon de la propagation de l'onde dans un plasma peu dense, où \(c\) est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide et \(\omega_{p}\) la pulsation plasma.
II.4 - Résolution de la relation de dispertion
Pour la résolution de la relation de dispertion on doit discriminer selon 2 cas :Si \(\omega > \omega_{p}\)
On a alors \(\underline{k}=\pm \frac{\omega}{c}\sqrt{1-(\frac{\omega_{p}}{\omega})^{2}}\).\(\underline{k}\) peut se mettre sous la forme \(\underline{k} = k'-ik''\)
Par unicité de l'écriture complexe, on identifie alors : \[k'=\pm \frac{\omega}{c}\sqrt{1-(\frac{\omega_{p}}{\omega})^{2}}\] \[k''=0\] Considérons une onde suivant les z croissants, on a donc \(k'>0\) et ainsi \(\underline{k} = k' = \frac{\omega}{c}\sqrt{1-(\frac{\omega_{p}}{\omega})^{2}}\). Chacune des composantes \(E_{x}\), \(E_{y}\), \(B_{x}\) et \(B_{y}\) sont de la forme : \(A_{m,i} cos(\omega t-k'(w)z +\varphi_{i})\). Dans le cas \(\omega > \omega_{p}\), l'onde se propage dans le plasma sans attenuation associée à la vitesse de phase : \[v_{\varphi}=\frac{c}{\sqrt{1-(\frac{\omega_{p}}{\omega})^{2}}}\] La vitesse de phase dépendant de \(\omega\), le plasma constitu donc un milieu dispersif.Si \(\omega < \omega_{p}\)
Dans ce cas, on a \(\underline{k}=\pm i\frac{\omega}{c}\sqrt{(\frac{\omega_{p}}{\omega})^{2}-1}\)\(\underline{k}\) peut se mettre sous la forme \(\underline{k} = k'-ik''\)
Par unicité de l'écriture complexe, on identifie alors : \[k'=0\] \[k''=\pm \frac{\omega}{c}\sqrt{(\frac{\omega_{p}}{\omega})^{2}-1}\] L'onde ne peut pas être amplifiée sans apport d'énergie extérieure, d'où \(\underline{k} = -ik'' = -i\frac{\omega}{c}\sqrt{(\frac{\omega_{p}}{\omega})^{2}-1}\) Chacune des composantes \(E_{x}\), \(E_{y}\), \(B_{x}\) et \(B_{y}\) sont de la forme : \(A_{m,i}e^{-k''z}cos(\omega t+\varphi)\). Il s'agit d'une onde stationnaire (car de la forme \(F(z)G(t)\)). C'est une onde évanescente. L'amplitude de l'onde décroît de façon exponentielle avec la distance \(\frac{1}{k''}\).